Phân số liên tục vô hạn là số vô tỉ. Và mọi số vô tỉ đều được biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn.

Phân số liên tục vô hạn tuần hoàn

Trong đó, đáng chú ý là các phân số liên tục vô hạn tuần hoàn, tức là các thành phần lập lại theo một cách tuần hoàn.

Ví dụ:

[1;2,2,2,2,2,2,...] với các số 2 lặp lại tuần hoàn;

[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]với 2,3,4 lặp lại tuần hoàn.

Các phân số liên tục tuần hoàn chính là nghiệm của 1 đa thức bậc hai nào đó với các hệ số nguyên.

Ví dụ:

[ 1 ; 2 , 2 , 2 , . . . ] = 2 {\displaystyle [1;2,2,2,...]={\sqrt {2}}} là nghiệm của đa thức bậc hai x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} .

[ 0 ; 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4 , . . . ] = − 27 14 + 1 14 1 093 {\displaystyle [0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]={-27 \over 14}+{1 \over 14}{\sqrt {1}}093} là nghiệm của đa thức bậc hai 7 x 2 + 27 x − 13. {\displaystyle 7x^{2}+27x-13.}